5.2.2 导数的四则运算法则（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·河南·禹州市开元学校高二期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·高二期末）函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京西城·高二期末）已知函数，为的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·重庆·高二阶段练习）函数的导函数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·山东聊城一中高二期中）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知函数，．若，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖南岳阳·高二期中）函数在处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高二期末）下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）曲线在点处的切线的斜率为____________．
12．（2022·全国·高二单元测试）函数的导函数为______．
13．（2022·上海市行知中学高二期末）已知，则________.
四、解答题
14．（2022·上海南汇中学高二期末）已知函数，且，求的导数．
15．（2022·陕西渭南·高二期末（文））求下列函数的导数：
(1)；
(2).
16．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
17．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
18．（2022·全国·高二课时练习）设，，，…，，，试求．
19．（2022·全国·高二课时练习）曲线在点（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
20．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，是的导函数.若，求的值.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·江苏连云港·高二期末）已知，则（ ）
A． B． C．4 D．
2．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）函数的图象在其零点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．Sigmoid函数的图象是关于中心对称
D．Sigmoid函数是单调递增函数，函数是单调递减函数
5．（2022·江西·景德镇一中高二期中）已知是函数的导函数，且对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022·山东·夏津育中万隆中英文高级中学有限公司高二期末）已知函数，则函数在点处的切线的方程为___________.
7．（2022·全国·高二课时练习）给出定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经研究发现，所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图像的对称中心．若，则__________．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的导数是，且满足，则 __________．
9．（2022·全国·高二专题练习）设定义域为的单调函数，对任意的，都有，若是方程的一个解，且，则实数a=_____．
10．（2022·全国·高二专题练习）已知是函数的导数，若对任意，都有，且则不等式的解集为___________.
11．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，若关于的方程有4个互异的实数根，则实数的取值范围是___________.
12．（2022·全国·高二专题练习）设点在曲线上，在直线上，则的最小值________.
三、解答题
13．（2022·全国·高二课时练习）设函数，为的导函数，若，求的值．
14．（2022·全国·高二课时练习）已知，其中，点为函数图象上一动点，求点到直线距离的最小值．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，试比较与的大小关系.
5.2.2 导数的四则运算法则（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·河南·禹州市开元学校高二期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，再令可得解.
【详解】由，
得，
令，则，
解得，
故选：B.
2．（2022·吉林·高二期末）函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的运算法则，即可判断.
【详解】根据导数的运算法则可知，.
故选：B
3．（2022·北京西城·高二期末）已知函数，为的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的求导公式结合导数的加法运算法则即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以，.
故选：B.
4．（2022·重庆·高二阶段练习）函数的导函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导函数运算法则进行求解
【详解】
故选：B
5．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导函数乘法法则计算即可.
【详解】定义域为，
故选：B
6．（2022·山东聊城一中高二期中）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先对求导，再利用特殊角的三角函数值即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B.
7．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出切点坐标以及切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】对函数求导得，则所求切线斜率为，且，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
故选：C.
8．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知函数，．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导后代入可求得，由可得结果.
【详解】，，即，
又，.
故选：D.
9．（2022·湖南岳阳·高二期中）函数在处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解.
【详解】因为函数，
则，
所以，也即函数在处切线的斜率，
故选：.
二、多选题
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高二期末）下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用导数的运算法则进行计算即可判断.
【详解】对于A，，故选项A错误；
对于B，，故选项B正确；
对于C，，故选项C错误；
对于D，，故选项D错误，
所以导数运算错误的是：，
故选：.
三、填空题
11．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）曲线在点处的切线的斜率为____________．
【答案】2
【分析】由导数几何意义即可求.
【详解】，∴所求切线斜率为2.
故答案为：2
12．（2022·全国·高二单元测试）函数的导函数为______．
【答案】
【分析】根据基本初等函数的求导公式以及求导法则即可求解.
【详解】由得，
故答案为：
13．（2022·上海市行知中学高二期末）已知，则________.
【答案】6
【分析】利用求导公式求导，从而可得出答案.
【详解】解：，
则.
故答案为：6.
四、解答题
14．（2022·上海南汇中学高二期末）已知函数，且，求的导数．
【答案】
【分析】根据导数的运算法则求解.
【详解】,
.
15．（2022·陕西渭南·高二期末（文））求下列函数的导数：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数运算法则运算求解即可；
（2）根据导数运算法则运算求解即可；
【详解】（1）解：
（2）解：
16．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数、的方程组，可求得实数、的值；
（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.
【详解】（1）解：因为，则，
所以，，解得.
（2）解：因为的定义域为，且，
所以，，，故切点坐标为，
所以，函数在处的切线方程为.
17．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）结合导数的运算公式求得函数的导数.
（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
.
（6）
．
18．（2022·全国·高二课时练习）设，，，…，，，试求．
【答案】
【分析】根据基本初等函数的导数公式求出前几个，即可找到规律，从而得解；
【详解】解：，，，，
，，…，，可知周期为，
又，
∴．
19．（2022·全国·高二课时练习）曲线在点（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
【答案】或．
【分析】求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，从而求出切线方程，再设出直线l的方程（），利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，得到直线l的方程.
【详解】∵，
∴，
∴曲线在点（0，1）处的切线的斜率为，
其方程为，即．
又∵直线l与平行，
∴直线l的方程可设为（）．
由得：或．
∴直线l的方程为或．
20．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，是的导函数.若，求的值.
【答案】.
【分析】先求导，由求得，再由倍角公式结合齐次分式求解即可.
【详解】因为，所以.由，得，
所以，.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·江苏连云港·高二期末）已知，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由题意可知，，利用导数的四则运算即可求出，代入数值即可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以．
故选：C．
2．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）函数的图象在其零点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的零点，求出函数在该点处的导数值，根据导数的几何意义即可求得答案.
【详解】令，则，即的零点为，
又，而，
故函数的图象在其零点处的切线方程为，即，
故选：B.
3．（2022·全国·高二专题练习）已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对函数求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将代入导函数即可解得答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴
∴是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
将代入得：，排除C．
故选：A．
4．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．Sigmoid函数的图象是关于中心对称
D．Sigmoid函数是单调递增函数，函数是单调递减函数
【答案】C
【分析】求导得可判断A，再由奇偶性的定义与性质可判断BD，由可以判断C
【详解】对于A：由题意得，选项A错误；
对于B：设，则，
所以函数不是奇函数，选项B错误；
对于C：因为，
所以，
所以Sigmoid雨数的图象的对称中心为，选项C正确；
对于D：由B可知，由的图象关于y轴对称，可知函数不单调，故选项D错误.
故选：C
5．（2022·江西·景德镇一中高二期中）已知是函数的导函数，且对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据要求解的不等式可变形为，构造函数，并结合已知可得，从而得，利用求得参数c的值，由此可将不等式 化为，即可求得答案.
【详解】令 ①,则 ，
∵，
∴ ，
即 ，
∴（c为常数）②，
由①②知， ，
∴ ，又，
∴ ，即 ，
，
不等式 即，
∴ 或，
即不等式的解集为，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决此类根据导函数的表达式求解不等式解集的问题时，一般方法是要构造函数，利用导数判断函数性质进行求解，关键点就是要根据求解的不等式进行合理变形，并结合已知的导函数表达式进行构造恰当的新函数.
二、填空题
6．（2022·山东·夏津育中万隆中英文高级中学有限公司高二期末）已知函数，则函数在点处的切线的方程为___________.
【答案】
【分析】首先求出导函数，再将代入求出切线斜率，最后根据点斜式求解切线方程即可.
【详解】已知，得.
将代入，得，
故切线方程为：，即.
故答案为：
7．（2022·全国·高二课时练习）给出定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经研究发现，所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图像的对称中心．若，则__________．
【答案】
【分析】由题，先求，由求出拐点，则所求式子首尾项两两中心对称，故可根据中心对称化简求解
【详解】由题，，，
由得，则即为图像的对称中心，则所求式子首尾项两两中心对称，
∴.
故答案为：
8．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的导数是，且满足，则 __________．
【答案】2
【分析】由求得，再令建立等式即可求出，即可求得解析式求出
【详解】由得，，则，可得，则，.
故答案为：2
9．（2022·全国·高二专题练习）设定义域为的单调函数，对任意的，都有，若是方程的一个解，且，则实数a=_____．
【答案】2
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再借助零点存在性定理推理作答.
【详解】对任意的，都有，且是上的单调函数，
因此为定值，设，则，显然，
即，而函数在上单调递增，且，于是得，
从而，求导得，方程，
依题意，是函数的零点，而函数在上单调递增，
且，即函数的零点，
又，所以.
故答案为：2
10．（2022·全国·高二专题练习）已知是函数的导数，若对任意，都有，且则不等式的解集为___________.
【答案】(－1，2)
【分析】由题意，得，构造函数，然后求出函数的解析式，再确定的解析式，进一步解一元二次不等式即可．
【详解】解：由题意，因为，所以，，
令，则，
，即，
，，
不等式的解集等价于，解得．
故答案为：．
11．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，若关于的方程有4个互异的实数根，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】方程有4个互异的实数根转化为函数的图象与动折线有四个不同的公共点，借助数形结合的思想作答.
【详解】函数定义域为，是偶函数，其图象如图，直线，(图中虚线)及y轴是该图象的渐近线，
函数的图象是过定点的折线，
观察图象知，当射线与在y轴左侧的图象有公共点时，该射线与在y轴右侧的图象有1个或2个公共点，
当射线与在y轴左侧的图象相切时，设切点，，
依题意有，且，整理得，解得，，
显然，当时，射线与曲线有无公共点，则曲线与折线最多有2个公共点，不符合，
①当时，射线与曲线有1个公共点，而，该射线与直线相交，
它与曲线有2个公共点，射线与直线不相交，则它与曲线无公共点，
即当时，曲线与折线有3个公共点，
②当时，射线与曲线有2个公共点，该射线与直线相交，
它与曲线有2个公共点，射线与直线不相交，则它与曲线无公共点，
即当时，曲线与折线有4个公共点，
③当时，射线与曲线有2个公共点，该射线与直线平行，它与曲线有1个公共点，
射线与直线平行，则它与曲线无公共点，
即当时，曲线与折线有3个公共点，
④当时，射线与曲线有2个公共点，该射线与直线不相交，它与曲线有1个公共点，
射线与直线相交，则它与曲线有1个公共点，
即当时，曲线与折线有4个公共点，
综上，当或时，曲线与折线有4个公共点，即方程有4个互异的实数根，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
12．（2022·全国·高二专题练习）设点在曲线上，在直线上，则的最小值________.
【答案】
【解析】当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离，先根据导数的几何意义求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式进行求值.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离.
设，由导数的几何意义，可得，解得（舍去），
故切点为，点到直线的距离
所以的最小值为
故答案为：
【点睛】结论点睛：本题考查利用导数的几何意义研究曲线上某点的切线方程，需要注意：
（1）已知切点求斜率，即求该点处的导数值：；
（2）已知斜率，求切点，即解方程；
（3）已知过某点(不是切点)的切线斜率为时，常需设出切点，利用＝求解.
三、解答题
13．（2022·全国·高二课时练习）设函数，为的导函数，若，求的值．
【答案】
【分析】结合已知条件，首先求出，然后利用求出，
结合三角恒等变换可得即可求解.
【详解】由题意可知，，
由，得，
即，从而，
所以
．
故的值为.
14．（2022·全国·高二课时练习）已知，其中，点为函数图象上一动点，求点到直线距离的最小值．
【答案】
【分析】将问题转化为与平行的直线与相切时，切点到直线的距离的求解；利用导数几何意义，结合切线斜率可构造方程求得切点坐标，利用点到直线距离公式即可求得最小值.
【详解】当与平行的直线与相切时，切点到直线的距离取得最小值；
由题意得：定义域为，，
令得：或，
又，，切点分别为，，
点到的距离；
点到的距离；
，，
点到直线距离的最小值为.
15．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，试比较与的大小关系.
【答案】
【分析】对求导，然后令，求得的值，从而得到函数解析式，然后分别求出与的值，作差即可得到结果.e
【详解】由题意得.
令，得，即，所以.
所以，，由，
得.
