2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷9.3平行四边形
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2022八下·淮安开学考）平行四边形的对角线长为x，y，一边长为14，则x，y的值可能是（ ）
A．8和16 B．10和14 C．18和10 D．10和24
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A、根据三角形的三边关系可知：4+8=12<14，不能构成三角形，故此选项错误；
B、根据三角形的三边关系可知：5+7=12＜14，不能构成三角形，故此选项错误；
C、根据三角形的三边关系可知：5+9=14，不能构成三角形，故此选项错误；
D、5+12=17＞14，14-5=9<12，能构成三角形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，然后根据三角形的三边关系分别判断即可.
2．（2022八下·扬州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8.
故答案为：B.
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行四边形的性质以及平行线的性质得∠ABC+∠DCB+180°，根据角平分线的概念得∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，则∠CBE+∠BCF＝90°，根据平行线的性质得∠AOE＝∠BHC＝90°，∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，则AB＝AE＝5，利用勾股定理求出AO，证明△ABO≌△MBO，得到AO＝OM＝4，则AM＝8，推出四边形AMCF是平行四边形，据此解答.
3．（2022八下·淮安开学考）如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图1，过B、D分别作BF⊥CE于点F、DG⊥CE于点G，
四边形BCDE是平行四边形，
，
、 ，
，
BF= DG，
，
S1=S2.
故答案为：A.
【分析】过B、D分别作BF⊥CE于点F、DG⊥CE于点G， S1，S2 有一公共边CA，再证明得出BF=DG，即S1，S2 的高相等，从而可得出结论.
4．（2022八下·扬州期中）如图，点P为 ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为（ ）
A．10 B．13 C．18 D．20
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：DC与AP交于点E，设点P到DC的距离为，DC和AB之间的距离为，
∵，，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴，
即，
∴，
即△APC的面积是13.
故答案为：B.
【分析】设DC与AP交于点E，设点P到DC的距离为h1，DC和AB之间的距离为h2，根据平行四边形的性质可得AB＝DC，根据三角形的面积公式可得，，两式相减可得，据此解答.
5．（2022八下·扬州期中）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边平行，一组邻角互补
D．一组对边相等，一组邻角相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形；
B、一组对边平行，一组对角相等，可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形；
C、一组对边平行，一组邻角互补，也有可能是等腰梯形；
D、一组对边相等，一组邻角相等，不一定是平行四边形.
故答案为：B.
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等 的四边形是平行四边形，从而一一判断即可得出答案.
6．（2020八下·南京期末）下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．∠A=∠C，∠B=∠D
B．∠A＋∠B=180°，∠B＋∠C=180°
C． ，AD=BC
D． ，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：A不合题意；
B、∵∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
∴AD∥BC，AB∥CD
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：B不合题意；
C、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：C不合题意；
D、“AB∥CD且AD=BC”不可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.根据平行四边形的判定逐一验证.
7．（2022八下·扬州期中）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又∵△ABC的周长为24，
∴，
故答案为：A.
【分析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，易证四边形PGBD、EPHC是平行四边形，根据平行四边形的性质得到PG＝BD，PE＝HC，易证△PFG，△PDH是等边三角形，则PF＝PG＝BD，PD＝DH，然后根据△ABC的周长为24进行解答即可.
8．（2022八下·义乌期中）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角都是钝角或直角
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中没有一个角是钝角或直角.
故答案为：C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
二、填空题（每空3分，共21分）
9．（2022八下·邗江期末）用反证法证明某一命题的结论“ ”时，应假设 .
【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“a > b”时，应先假设 .
故答案为： .
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，即假设结论的反面成立，故需只需找出a>b的反面即可.
10．（2022八下·沭阳期末）平行四边形ABCD中，∠A：∠B=2：7，则∠C= °
【答案】40
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A：∠B=2：7，
∴∠A=40°，
∴∠C=40°.
故答案为：40.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，∠A=∠C，由平行线的性质可得∠A+∠B=180°，结合已知条件可得∠A的度数，进而可得∠C的度数.
11．（2022八下·苏州期中）如图，在平行四边形 ABCD中，AD＝7，AB＝5，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是 ．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=7，CD=AB=5，AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴EC=CD=5，
∴BE=BC－EC=2.
故答案为：2.
【分析】根据平行四边形的性质可得BC=AD=7，CD=AB=5，AD//BC，由平行线的性质可得∠ADE=∠DEC，根据角平分线的概念可得∠CDE=∠ADE，则∠CDE=∠DEC，推出EC=CD=5，然后根据BE=BC-EC进行计算.
12．（2022八下·南京期末）如图，在中，点是定点，点、是直线和上两动点，，且点到直线和的距离分别是1和4，则对角线长度的最小值是 ．
【答案】5
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过DM⊥l1，延长DM交l2于H点，过B作BN⊥l2于N点，连接MN，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∵ ，
∴∠EAB=∠FCB，
∴∠BAD-∠EAB=∠BCD-∠FCB，即∠DAE=∠BCF，
在△AMD和△BNC中，，
∴△AMD≌△BNC（AAS），
∴BN=DM=1，
∴B点在到l2的距离为1的直线上运动，
当DB⊥l2时，BD最短，
这时BD=4+1=5.
故答案为：5.
【分析】过DM⊥l1，延长DM交l2于H点，过B作BN⊥l2于N点，连接MN，利用AAS证明△AMD≌△BNC，得出BN=DM=1，得出B点在到l2的距离为1的直线上运动，当DB⊥l2时，BD最短，再求出这个最短距离即可.
13．（2020八下·通州月考）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝ .
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，
∴ ，
∵S△PBG＝2，
∴ ，
∵CG＝2BG，
∴ ，
∵ ,
∴ .
故答案为：8.
【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.
14．（2018八下·江都月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
【答案】AE=CF
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OE=OF
∴OA-OE=OC-OF
即AE=CF.
【分析】根据已知平行四边形ABCD，得出OA=OC，OB=OD，两四边形有公共的对角线BD，因此只需添加AE=CF，就可证明OE=OF，即可得出四边形DEBF是平行四边形。
15．（2020八下·灌云月考）如图，在四边形 中， ，点 分别从点 同时出发，点 以 的速度由点 向点 运动，点 以 的速度由点 向点 运动设运动时间为 .当 .时， 为平行四边形的一边.
【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据题意有AP=2t，CQ=t，PD=9-2t，BQ=6-t，
①∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴2t=6-t，解得t=2，
∴运动2s时四边形APQB是平行四边形，
②∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
∴9-2t=t，解得t=3，
∴运动3s时，四边形PDCQ是平行四边形，
故答案为：2或3.
【分析】当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，分别求出t即可.
三、作图题（共2题，共14分）
16．（2021八下·鼓楼期末）按下列要求画 ，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上，
（1）在图①中画 ，使它的周长是整数；
（2）在图②中画 ，使它的周长不是整数（请标出必要的字母与线段长度）
【答案】（1）解：如图①中，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.
（2）解：如图②中，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质及网格特点，作出邻边分别为3和5的平行四边形即可；
（2）利用平行四边形的性质、勾股定理及网格特点，作出邻边分别为和的平行四边形即可.
17．（2020八下·秦淮期末）题目：
（1）下图是小明所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“ 的四边形是平行四边形”；
（2）请你以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为依据完成题目中的作图.
【答案】（1）一组对边平行且相等
（2）解：作图分以下五步：
①连接AC，
②作AC的垂直平分线 ，交AC于点O，
③过点B、O作射线BE，
④以点O为圆心、OB长为半径画弧，交射线BE于点D，
⑤连接AD、CD即可得到 ，
如图， 即为所作.
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（1）由小明的作图痕迹可知， ，
则他作图的依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等；
【分析】（1）根据小明的作图痕迹可得 ，再根据平行四边形的判定即可得；（2）先利用尺规作图可得AC的垂直平分线 ，交AC于点O，再过点B、O作射线BE，然后以点O为圆心、OB长为半径画弧，交射线BE于点D，最后连接AD、CD即可得 .
四、解答题（共9题，共61分）
18．证明此命题为伪命题：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图所示：AB=CD，∠B=∠D，AC=AC，
无法得出△ABC≌△ADC，
∴BC不一定等于AD，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．
【知识点】反证法
【解析】【分析】直接利用全等三角形的判定与性质以及利用平行四边形的性质求出即可．
19．（2022八下·沭阳期末）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC，交BD于点O，根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，结合BE＝DF及线段的和差关系可得OE＝OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明.
20．（2022八下·连云期中）平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，E、F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
【答案】证明：如图所示：
∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AF＝EC，则FO＝EO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，根据AE＝CF可得AF＝EC，由线段的和差关系可推出FO＝EO，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明.
21．（2021八下·盐城期末）平行四边形的一个判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理.
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
【答案】证明：∵OA＝OC，OB＝OD.
又∠AOB=∠COD
∴△ABO≌△CDO（SAS）
∴AB=CD，∠OAB=∠OCD
∴AB平行且等于CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】易证△ABO≌△CDO，得到AB=CD，∠OAB=∠OCD，进而推出AB∥CD，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
22．（2021八下·崇川月考）如图是某区部分街道示意图，其中 垂直平分 .从 站乘车到 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是 ，且长度为5公里，路线2是 ，求路线2的长度.
【答案】解：如图，延长FD交AB于点G，
∵BC∥DF，AB∥DC，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴DG＝BC，
∵CE垂直平分AF，
∴FE＝AE，DE∥AG，
∴FD＝DG，
∴CB＝FD，
又∵BC∥DF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF＝BD，
∵CE垂直平分AF，
∴AE＝FE，FD＝DA，
∴BC＝DA，
∴路线2的长度：BC＋CF＋FE＝AD＋BD＋AE＝5（公里）.
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】延长FD交AB于点G，易得四边形BCDG是平行四边形，根据平行四边形的性质以及垂直平分线的性质可推出BC=DA，FE=AE，CF=BD，然后根据路线2的长度为BC＋CF＋FE进行计算即可.
23．（2022八下·广陵期中）已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：
（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．
【答案】（1）解：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴EB∥DF．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由AE＝CF以及线段的和差关系得AF＝CE，由平行四边形性质得AD＝BC，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠DAF＝∠BCE，然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AFD＝∠CEB，然后根据平行线的判定定理进行证明.
24．（2022八下·扬州期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F.
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若，，，求的面积.
【答案】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，
，即，
，即，
①，
又②，
联立①、②得：，
，
则的面积为.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据题意可得DE∥BF，根据垂直的概念可得∠AED=∠CFB=90°，根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠DAE=∠BCF，然后证明△ADE≌△CBF，得到DE=BF，然后利用平行四边形的判定定理进行证明；
（2）根据平行四边形的性质可得CD=AB=20，OA=AC=，根据勾股定理可得AD2-AE2=CD2-CE2，结合平方差公式可得CE-AE，然后结合CE+AE=AC=21求出AE的值，利用勾股定理求出DE，然后根据三角形的面积公式进行计算.
25．（2021八下·锡山期末）定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.
（1）在三等角四边形 中， ，则 的取值范围为 ；
（2）如图1，折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，折痕为 .求证：四边形 为三等角四边形；
（3）如图 ，在三等角四边形 中， ，若 ， ， ，则 的长度为 .
【答案】（1）60°＜∠A＜∠120°
（2）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，
∴DE=DA，DF=DC，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是三等角四边形
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；多边形内角与外角；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵ ，0＜∠D＜180°，
∴180°＜3∠A＜360°，
∴ ，
故答案为：
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，
∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，
∴AD=DE=BF= ，CD=DF=7，
∴AE=BE-AB=CD-AB=2，
∵DG⊥BE，DH⊥BF，
∴AG=EG= AE=1，CH=HF= CF，
∴DG= ，
∴S平行四边形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5= DH，
解得：DH= ，
∴CH= = ，
∴CF=2CH= ，
∴BC=BF-CF= .
故答案为：
【分析】（1）由四边形的内角和结合已知条件可得180°＜3∠A＜360°，求解即可；
（2）由平行四边形的性质可得∠E=∠F，∠E+∠EBF=180°，由折叠的性质可得DE=DA，DF=DC，由等腰三角形的性质以及邻补角的性质可推出∠DAB=∠DCB=∠ABC，据此证明；
（3）过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，由平行四边形的性质可得DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，进而推出∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，求得AD、CD、AE的值，由等腰三角形的性质可得AG=EG=1，CH=HF，由勾股定理可得DG的值，由平行四边形的面积公式可得DH，由勾股定理可得CH的值，进而求得CF、BC的值.
26．（2022八下·扬州期中）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容.
平行四边形的性质定理3：行四边形的对角线互相平分。 我们可以用演绎推理证明这个结论。 已知：如图，的对角线AC和BD相交于点O。 求证：OA=OC，OB=OD。
（1）请根据教材中的分析，结合图1写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程.
证明：
（2）【性质应用】
如图2，的对角线相交于点，过点且与分别相交于点，
求证：；
（3）连结，若，周长是，则的周长是 .
【答案】（1）证明：四边形 是平行四边形
，
，
，
（2）证明：四边形是平行四边形
四边形 是平行四边形
又
（3）30
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（3），，
周长是，
的周长是：
故答案为：30.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，根据平行线的性质可得∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，然后证明△AOB≌△COD，据此可得结论；
（2）根据平行四边形的性质得AO=CO，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠OAE=∠OCF，证明△AOE≌△COF，据此可得结论；
（3）连结AF，易得AF=CF，然后结合△ABF的周长及平行四边形周长的计算方法进行计算.
2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷9.3平行四边形
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2022八下·淮安开学考）平行四边形的对角线长为x，y，一边长为14，则x，y的值可能是（ ）
A．8和16 B．10和14 C．18和10 D．10和24
2．（2022八下·扬州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
3．（2022八下·淮安开学考）如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
4．（2022八下·扬州期中）如图，点P为 ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为（ ）
A．10 B．13 C．18 D．20
5．（2022八下·扬州期中）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边平行，一组邻角互补
D．一组对边相等，一组邻角相等
6．（2020八下·南京期末）下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．∠A=∠C，∠B=∠D
B．∠A＋∠B=180°，∠B＋∠C=180°
C． ，AD=BC
D． ，AD=BC
7．（2022八下·扬州期中）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
8．（2022八下·义乌期中）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角都是钝角或直角
二、填空题（每空3分，共21分）
9．（2022八下·邗江期末）用反证法证明某一命题的结论“ ”时，应假设 .
10．（2022八下·沭阳期末）平行四边形ABCD中，∠A：∠B=2：7，则∠C= °
11．（2022八下·苏州期中）如图，在平行四边形 ABCD中，AD＝7，AB＝5，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是 ．
12．（2022八下·南京期末）如图，在中，点是定点，点、是直线和上两动点，，且点到直线和的距离分别是1和4，则对角线长度的最小值是 ．
13．（2020八下·通州月考）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝ .
14．（2018八下·江都月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
15．（2020八下·灌云月考）如图，在四边形 中， ，点 分别从点 同时出发，点 以 的速度由点 向点 运动，点 以 的速度由点 向点 运动设运动时间为 .当 .时， 为平行四边形的一边.
三、作图题（共2题，共14分）
16．（2021八下·鼓楼期末）按下列要求画 ，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上，
（1）在图①中画 ，使它的周长是整数；
（2）在图②中画 ，使它的周长不是整数（请标出必要的字母与线段长度）
17．（2020八下·秦淮期末）题目：
（1）下图是小明所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“ 的四边形是平行四边形”；
（2）请你以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为依据完成题目中的作图.
四、解答题（共9题，共61分）
18．证明此命题为伪命题：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．
19．（2022八下·沭阳期末）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形.
20．（2022八下·连云期中）平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，E、F是AC上的两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
21．（2021八下·盐城期末）平行四边形的一个判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理.
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
22．（2021八下·崇川月考）如图是某区部分街道示意图，其中 垂直平分 .从 站乘车到 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是 ，且长度为5公里，路线2是 ，求路线2的长度.
23．（2022八下·广陵期中）已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：
（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．
24．（2022八下·扬州期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F.
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若，，，求的面积.
25．（2021八下·锡山期末）定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.
（1）在三等角四边形 中， ，则 的取值范围为 ；
（2）如图1，折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，折痕为 .求证：四边形 为三等角四边形；
（3）如图 ，在三等角四边形 中， ，若 ， ， ，则 的长度为 .
26．（2022八下·扬州期中）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容.
平行四边形的性质定理3：行四边形的对角线互相平分。 我们可以用演绎推理证明这个结论。 已知：如图，的对角线AC和BD相交于点O。 求证：OA=OC，OB=OD。
（1）请根据教材中的分析，结合图1写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程.
证明：
（2）【性质应用】
如图2，的对角线相交于点，过点且与分别相交于点，
求证：；
（3）连结，若，周长是，则的周长是 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A、根据三角形的三边关系可知：4+8=12<14，不能构成三角形，故此选项错误；
B、根据三角形的三边关系可知：5+7=12＜14，不能构成三角形，故此选项错误；
C、根据三角形的三边关系可知：5+9=14，不能构成三角形，故此选项错误；
D、5+12=17＞14，14-5=9<12，能构成三角形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，然后根据三角形的三边关系分别判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8.
故答案为：B.
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行四边形的性质以及平行线的性质得∠ABC+∠DCB+180°，根据角平分线的概念得∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，则∠CBE+∠BCF＝90°，根据平行线的性质得∠AOE＝∠BHC＝90°，∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，则AB＝AE＝5，利用勾股定理求出AO，证明△ABO≌△MBO，得到AO＝OM＝4，则AM＝8，推出四边形AMCF是平行四边形，据此解答.
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图1，过B、D分别作BF⊥CE于点F、DG⊥CE于点G，
四边形BCDE是平行四边形，
，
、 ，
，
BF= DG，
，
S1=S2.
故答案为：A.
【分析】过B、D分别作BF⊥CE于点F、DG⊥CE于点G， S1，S2 有一公共边CA，再证明得出BF=DG，即S1，S2 的高相等，从而可得出结论.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：DC与AP交于点E，设点P到DC的距离为，DC和AB之间的距离为，
∵，，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴，
即，
∴，
即△APC的面积是13.
故答案为：B.
【分析】设DC与AP交于点E，设点P到DC的距离为h1，DC和AB之间的距离为h2，根据平行四边形的性质可得AB＝DC，根据三角形的面积公式可得，，两式相减可得，据此解答.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形；
B、一组对边平行，一组对角相等，可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形；
C、一组对边平行，一组邻角互补，也有可能是等腰梯形；
D、一组对边相等，一组邻角相等，不一定是平行四边形.
故答案为：B.
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等 的四边形是平行四边形，从而一一判断即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：A不合题意；
B、∵∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
∴AD∥BC，AB∥CD
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：B不合题意；
C、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：C不合题意；
D、“AB∥CD且AD=BC”不可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.根据平行四边形的判定逐一验证.
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又∵△ABC的周长为24，
∴，
故答案为：A.
【分析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，易证四边形PGBD、EPHC是平行四边形，根据平行四边形的性质得到PG＝BD，PE＝HC，易证△PFG，△PDH是等边三角形，则PF＝PG＝BD，PD＝DH，然后根据△ABC的周长为24进行解答即可.
8．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中没有一个角是钝角或直角.
故答案为：C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“a > b”时，应先假设 .
故答案为： .
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，即假设结论的反面成立，故需只需找出a>b的反面即可.
10．【答案】40
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A：∠B=2：7，
∴∠A=40°，
∴∠C=40°.
故答案为：40.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，∠A=∠C，由平行线的性质可得∠A+∠B=180°，结合已知条件可得∠A的度数，进而可得∠C的度数.
11．【答案】2
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=7，CD=AB=5，AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴EC=CD=5，
∴BE=BC－EC=2.
故答案为：2.
【分析】根据平行四边形的性质可得BC=AD=7，CD=AB=5，AD//BC，由平行线的性质可得∠ADE=∠DEC，根据角平分线的概念可得∠CDE=∠ADE，则∠CDE=∠DEC，推出EC=CD=5，然后根据BE=BC-EC进行计算.
12．【答案】5
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过DM⊥l1，延长DM交l2于H点，过B作BN⊥l2于N点，连接MN，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∵ ，
∴∠EAB=∠FCB，
∴∠BAD-∠EAB=∠BCD-∠FCB，即∠DAE=∠BCF，
在△AMD和△BNC中，，
∴△AMD≌△BNC（AAS），
∴BN=DM=1，
∴B点在到l2的距离为1的直线上运动，
当DB⊥l2时，BD最短，
这时BD=4+1=5.
故答案为：5.
【分析】过DM⊥l1，延长DM交l2于H点，过B作BN⊥l2于N点，连接MN，利用AAS证明△AMD≌△BNC，得出BN=DM=1，得出B点在到l2的距离为1的直线上运动，当DB⊥l2时，BD最短，再求出这个最短距离即可.
13．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，
∴ ，
∵S△PBG＝2，
∴ ，
∵CG＝2BG，
∴ ，
∵ ,
∴ .
故答案为：8.
【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.
14．【答案】AE=CF
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OE=OF
∴OA-OE=OC-OF
即AE=CF.
【分析】根据已知平行四边形ABCD，得出OA=OC，OB=OD，两四边形有公共的对角线BD，因此只需添加AE=CF，就可证明OE=OF，即可得出四边形DEBF是平行四边形。
15．【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据题意有AP=2t，CQ=t，PD=9-2t，BQ=6-t，
①∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴2t=6-t，解得t=2，
∴运动2s时四边形APQB是平行四边形，
②∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
∴9-2t=t，解得t=3，
∴运动3s时，四边形PDCQ是平行四边形，
故答案为：2或3.
【分析】当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，分别求出t即可.
16．【答案】（1）解：如图①中，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.
（2）解：如图②中，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质及网格特点，作出邻边分别为3和5的平行四边形即可；
（2）利用平行四边形的性质、勾股定理及网格特点，作出邻边分别为和的平行四边形即可.
17．【答案】（1）一组对边平行且相等
（2）解：作图分以下五步：
①连接AC，
②作AC的垂直平分线 ，交AC于点O，
③过点B、O作射线BE，
④以点O为圆心、OB长为半径画弧，交射线BE于点D，
⑤连接AD、CD即可得到 ，
如图， 即为所作.
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（1）由小明的作图痕迹可知， ，
则他作图的依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等；
【分析】（1）根据小明的作图痕迹可得 ，再根据平行四边形的判定即可得；（2）先利用尺规作图可得AC的垂直平分线 ，交AC于点O，再过点B、O作射线BE，然后以点O为圆心、OB长为半径画弧，交射线BE于点D，最后连接AD、CD即可得 .
18．【答案】证明：如图所示：AB=CD，∠B=∠D，AC=AC，
无法得出△ABC≌△ADC，
∴BC不一定等于AD，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．
【知识点】反证法
【解析】【分析】直接利用全等三角形的判定与性质以及利用平行四边形的性质求出即可．
19．【答案】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC，交BD于点O，根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，结合BE＝DF及线段的和差关系可得OE＝OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明.
20．【答案】证明：如图所示：
∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AF＝EC，则FO＝EO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，根据AE＝CF可得AF＝EC，由线段的和差关系可推出FO＝EO，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明.
21．【答案】证明：∵OA＝OC，OB＝OD.
又∠AOB=∠COD
∴△ABO≌△CDO（SAS）
∴AB=CD，∠OAB=∠OCD
∴AB平行且等于CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】易证△ABO≌△CDO，得到AB=CD，∠OAB=∠OCD，进而推出AB∥CD，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
22．【答案】解：如图，延长FD交AB于点G，
∵BC∥DF，AB∥DC，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴DG＝BC，
∵CE垂直平分AF，
∴FE＝AE，DE∥AG，
∴FD＝DG，
∴CB＝FD，
又∵BC∥DF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF＝BD，
∵CE垂直平分AF，
∴AE＝FE，FD＝DA，
∴BC＝DA，
∴路线2的长度：BC＋CF＋FE＝AD＋BD＋AE＝5（公里）.
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】延长FD交AB于点G，易得四边形BCDG是平行四边形，根据平行四边形的性质以及垂直平分线的性质可推出BC=DA，FE=AE，CF=BD，然后根据路线2的长度为BC＋CF＋FE进行计算即可.
23．【答案】（1）解：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴EB∥DF．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由AE＝CF以及线段的和差关系得AF＝CE，由平行四边形性质得AD＝BC，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠DAF＝∠BCE，然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AFD＝∠CEB，然后根据平行线的判定定理进行证明.
24．【答案】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，
，即，
，即，
①，
又②，
联立①、②得：，
，
则的面积为.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据题意可得DE∥BF，根据垂直的概念可得∠AED=∠CFB=90°，根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠DAE=∠BCF，然后证明△ADE≌△CBF，得到DE=BF，然后利用平行四边形的判定定理进行证明；
（2）根据平行四边形的性质可得CD=AB=20，OA=AC=，根据勾股定理可得AD2-AE2=CD2-CE2，结合平方差公式可得CE-AE，然后结合CE+AE=AC=21求出AE的值，利用勾股定理求出DE，然后根据三角形的面积公式进行计算.
25．【答案】（1）60°＜∠A＜∠120°
（2）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，
∴DE=DA，DF=DC，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是三等角四边形
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；多边形内角与外角；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵ ，0＜∠D＜180°，
∴180°＜3∠A＜360°，
∴ ，
故答案为：
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，
∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，
∴AD=DE=BF= ，CD=DF=7，
∴AE=BE-AB=CD-AB=2，
∵DG⊥BE，DH⊥BF，
∴AG=EG= AE=1，CH=HF= CF，
∴DG= ，
∴S平行四边形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5= DH，
解得：DH= ，
∴CH= = ，
∴CF=2CH= ，
∴BC=BF-CF= .
故答案为：
【分析】（1）由四边形的内角和结合已知条件可得180°＜3∠A＜360°，求解即可；
（2）由平行四边形的性质可得∠E=∠F，∠E+∠EBF=180°，由折叠的性质可得DE=DA，DF=DC，由等腰三角形的性质以及邻补角的性质可推出∠DAB=∠DCB=∠ABC，据此证明；
（3）过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，由平行四边形的性质可得DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，进而推出∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，求得AD、CD、AE的值，由等腰三角形的性质可得AG=EG=1，CH=HF，由勾股定理可得DG的值，由平行四边形的面积公式可得DH，由勾股定理可得CH的值，进而求得CF、BC的值.
26．【答案】（1）证明：四边形 是平行四边形
，
，
，
（2）证明：四边形是平行四边形
四边形 是平行四边形
又
（3）30
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（3），，
周长是，
的周长是：
故答案为：30.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，根据平行线的性质可得∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，然后证明△AOB≌△COD，据此可得结论；
（2）根据平行四边形的性质得AO=CO，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠OAE=∠OCF，证明△AOE≌△COF，据此可得结论；
（3）连结AF，易得AF=CF，然后结合△ABF的周长及平行四边形周长的计算方法进行计算.
