吉林省长春市榆树市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．（2021九上·汽开区期末）当函数是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2016九下·澧县开学考）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=3，c=4，d=1
3．（2021九上·汽开区期末）掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“6”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·汽开区期末）随着生产技术的进步，生产成本逐年下降．某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是900元，现在生产一台扫地机器人的成本是600元．设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九上·榆树期末）已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有（ ）
A．最小值-7 B．最大值-7 C．最小值3 D．最大值3
6．（2021九上·汽开区期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．3km B．4km C．5km D．6km
7．（2021九上·汽开区期末）如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·汽开区期末）如图，在Rt△ABC中，，，，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA、PC为邻边作PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．5
二、填空题
9．（2022九上·榆树期末）已知二次函数，则其图像的开口向 ．（填“上”或“下”）
10．（2021九上·汽开区期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
11．（2021九上·汽开区期末）下列事件：①长春市某天的最低气温为-200℃；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，其中是随机事件的是 （只填写序号）．
12．（2021九上·汽开区期末）如图，在△ABC中，，垂足为D．若，，，则的值为 ．
13．（2022九上·榆树期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交边于点，若，则 度．
14．（2019九上·南关期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ （x﹣3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于C、BD⊥y轴于D，则图中阴影部分图形的面积和为 ．
三、解答题
15．（2020八上·普宁期中）计算： ÷
16．（2022九上·榆树期末）解方程：．
17．（2022九上·榆树期末）小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上的数字如图所示．小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．
18．（2020九上·澧县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
19．（2020·聊城）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
20．（2022九上·榆树期末）如图，边长为2的正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B，C两点．
（1）求b，c的值；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围．
21．（2020九上·德惠期末）按要求作图（必须用直尺连线）：
（1）在图①中以点C为位似中心，在网格中画出△DEC，使△DEC与△ABC位似，且△DEC与△ABC的位似比为2：1，
（2）在图②中找到一个格点C，使∠ACB是锐角，且tan∠ACB＝1，并画出△ACB．
22．（2022九上·榆树期末）
（1）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
（2）【结论应用】
如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段的延长线交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：．
（3）若（1）中的，则的大小为 ．
23．（2022九上·榆树期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）【问题解决】
若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
（3）【拓展延伸】
化简＝ ．
24．（2022九上·榆树期末）如图，在ABCD中，，，．点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）的值为 ．
（2）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）
（3）当时，求△PCQ的面积．
（4）连接 AC．当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴a-1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出a-1≠0，再求解即可。
2．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.1×4≠3×2，故本选项错误；
B.4×10≠6×5，故本选项错误；
C.4×3=2×6，故本选项正确；
D.2×3≠1×4，故本选项错误；
故选C．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
3．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为抛掷一枚正方体骰子共有六种情况出现，
因此掷得“6”的概率是．
故答案为：D．
【分析】先求出抛掷一枚正方体骰子共有六种情况出现，再求概率即可。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，
根据题意得：
900（1﹣x）2＝600，
故答案为：A．
【分析】根据 某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是900元，现在生产一台扫地机器人的成本是600元 ，列方程即可。
5．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴二次函数的最大值为y=-7．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可。
6．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵公路AC，BC互相垂直，
∴．
∵M为AB的中点，
∴．
∵AB=10km，
∴CM=5km，
即M，C两点间的距离为5km，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出CM=5km，即可作答。
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，米，，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设PQ与AC交于点O，作于．
在Rt△ABC中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值．
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
9．【答案】上
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】，
∵，
∴该二次函数的图象开口向上，
故答案为上．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系求解即可。
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得，即，
解得．
故答案为．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
11．【答案】②
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：①长春市某天的最低气温为-200℃，是不可能事件，故不符合题意；
②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票，是随机事件，符合题意；
③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，是必然事件，故不符合题意；
故答案为：②．
【分析】根据随机事件的定义一一判断即可。
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出BC=10，最后计算求解即可。
13．【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵△DAC∽△ABC，
∴∠CAD=∠B，
∴∠CAB=2∠B，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
故答案为：30．
【分析】根据相似三角形的性质可得∠CAD=∠B，再结合∠CAB+∠B=90°，可得3∠B=90°，最后求出∠B=30°即可。
14．【答案】18
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】把（0，0）代入y （x﹣3）2+k得： （0﹣3）2+k=0，解得：k=6，∴抛物线解析式为y （x﹣3）2+6，∴B点坐标为（3，6）．
∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD=3×6=18．
故答案为：18．
【分析】先把原点坐标代入解析式求出k得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD，从而根据矩形面积公式计算即可．
15．【答案】解：原式＝ ﹣ +
＝ - +
＝
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
16．【答案】解：，
这里a=3，b=6，c=-4，
∵，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法求解一元二次方程即可。
17．【答案】解：根据题意，画出树状图如下：
由图可知，小华和小明各从自己的卡片中抽取一张，被抽取的两张卡片的数字之和共有6种等可能结果出现，其中和为6的占了其中2种，
∴P（抽取的两张卡片上的数字和为6）=．
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
18．【答案】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
19．【答案】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F．
则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，
EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15．
在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15．
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20．
在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝ ，
∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°．
∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30m．
【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【解析】【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE=MN=CF=1.6，EF=AC=35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．
20．【答案】（1）解：∵正方形的边长为2，
∴点B、C的坐标分别为，，
∵二次函数的图象经过B，C两点，
∴，
解得；
（2）解：由（1）可知抛物线为，
∵，
∴顶点为，
∵正方形边长为2，
∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形内（不包括边上），m的取值范围是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再将点B、C的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，再结合图形求出m的取值范围即可。
21．【答案】（1）解：如图①所示，△DEC即为所求；
（2）解：如图②所示，C点和△ACB即为所求．
【知识点】作图﹣位似变换；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质及网格特点，分别作出A、B以点C为位似中心，△DEC与△ABC的位似比为2：1的对应点D、E，然后顺次连接即可；
（2）利用网格特点作出∠ACB=45°即可.
22．【答案】（1）证明：∵P是的中点，M是 的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理， ，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵P是的中点，M是 的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴；
（3）29°
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：结论应用（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：29°．
【分析】（1）利用三角形中位线的性质可得，，可得，即可得到；
（2）先证明是的中位线，可得，再证出，结合 ，即可得到；
（3）先求出，再结合，求出，即可得到。
23．【答案】（1）；2mn
（2）解：，
∵，
∴ ，
又∵均为正整数，
∴ 或，
即或；
（3）
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】（1）解：，
∵，且均为整数，
，
故答案为：
（3）解：
＝
＝
＝，
故答案为：
【分析】（1）参考题干中的计算方法可得答案；
（2）先求出，可得，求出 或，最后可得答案；
（3）参照题干中的计算方法求解即可。
24．【答案】（1）
（2）解：①如图（1）中，当时，
∵，∴，∴，∴．
②如图（2）中，当时，
∵，∴，∴，
∴．
综上，当时，；当时，．
（3）解：当时，，，
∴．
（4）解：①当点M在线段AC上时，如图，
，
在Rt△APQ中，，，
则，由矩形的性质可知，，，
又，∴，
∴，即，解得；
②当点N在线段AC上，如图，
由题意可知，，
由矩形的性质可知，，，又，∴，
∴，即，解得．
综上，或．
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：在Rt△ABD中，，，
∴，∴，
故答案为．
【分析】（1）利用正切的定义求解即可；
（2）分类讨论： ①如当时，②当时，再分别画出图象并求解即可；
（3）先求出PQ和QC的长，再求出△PCQ的面积即可；
（4）分类讨论： ①当点M在线段AC上时，②当点N在线段AC上，再分别画出图象并求解即可。
吉林省长春市榆树市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．（2021九上·汽开区期末）当函数是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴a-1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出a-1≠0，再求解即可。
2．（2016九下·澧县开学考）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=3，c=4，d=1
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.1×4≠3×2，故本选项错误；
B.4×10≠6×5，故本选项错误；
C.4×3=2×6，故本选项正确；
D.2×3≠1×4，故本选项错误；
故选C．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
3．（2021九上·汽开区期末）掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“6”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为抛掷一枚正方体骰子共有六种情况出现，
因此掷得“6”的概率是．
故答案为：D．
【分析】先求出抛掷一枚正方体骰子共有六种情况出现，再求概率即可。
4．（2021九上·汽开区期末）随着生产技术的进步，生产成本逐年下降．某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是900元，现在生产一台扫地机器人的成本是600元．设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，
根据题意得：
900（1﹣x）2＝600，
故答案为：A．
【分析】根据 某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是900元，现在生产一台扫地机器人的成本是600元 ，列方程即可。
5．（2022九上·榆树期末）已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有（ ）
A．最小值-7 B．最大值-7 C．最小值3 D．最大值3
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴二次函数的最大值为y=-7．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可。
6．（2021九上·汽开区期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．3km B．4km C．5km D．6km
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵公路AC，BC互相垂直，
∴．
∵M为AB的中点，
∴．
∵AB=10km，
∴CM=5km，
即M，C两点间的距离为5km，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出CM=5km，即可作答。
7．（2021九上·汽开区期末）如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，米，，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
8．（2021九上·汽开区期末）如图，在Rt△ABC中，，，，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA、PC为邻边作PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设PQ与AC交于点O，作于．
在Rt△ABC中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值．
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
二、填空题
9．（2022九上·榆树期末）已知二次函数，则其图像的开口向 ．（填“上”或“下”）
【答案】上
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】，
∵，
∴该二次函数的图象开口向上，
故答案为上．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系求解即可。
10．（2021九上·汽开区期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得，即，
解得．
故答案为．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
11．（2021九上·汽开区期末）下列事件：①长春市某天的最低气温为-200℃；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，其中是随机事件的是 （只填写序号）．
【答案】②
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：①长春市某天的最低气温为-200℃，是不可能事件，故不符合题意；
②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票，是随机事件，符合题意；
③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，是必然事件，故不符合题意；
故答案为：②．
【分析】根据随机事件的定义一一判断即可。
12．（2021九上·汽开区期末）如图，在△ABC中，，垂足为D．若，，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出BC=10，最后计算求解即可。
13．（2022九上·榆树期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交边于点，若，则 度．
【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵△DAC∽△ABC，
∴∠CAD=∠B，
∴∠CAB=2∠B，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
故答案为：30．
【分析】根据相似三角形的性质可得∠CAD=∠B，再结合∠CAB+∠B=90°，可得3∠B=90°，最后求出∠B=30°即可。
14．（2019九上·南关期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ （x﹣3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于C、BD⊥y轴于D，则图中阴影部分图形的面积和为 ．
【答案】18
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】把（0，0）代入y （x﹣3）2+k得： （0﹣3）2+k=0，解得：k=6，∴抛物线解析式为y （x﹣3）2+6，∴B点坐标为（3，6）．
∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD=3×6=18．
故答案为：18．
【分析】先把原点坐标代入解析式求出k得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD，从而根据矩形面积公式计算即可．
三、解答题
15．（2020八上·普宁期中）计算： ÷
【答案】解：原式＝ ﹣ +
＝ - +
＝
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
16．（2022九上·榆树期末）解方程：．
【答案】解：，
这里a=3，b=6，c=-4，
∵，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法求解一元二次方程即可。
17．（2022九上·榆树期末）小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上的数字如图所示．小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．
【答案】解：根据题意，画出树状图如下：
由图可知，小华和小明各从自己的卡片中抽取一张，被抽取的两张卡片的数字之和共有6种等可能结果出现，其中和为6的占了其中2种，
∴P（抽取的两张卡片上的数字和为6）=．
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
18．（2020九上·澧县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
19．（2020·聊城）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【答案】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F．
则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，
EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15．
在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15．
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20．
在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝ ，
∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°．
∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30m．
【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【解析】【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE=MN=CF=1.6，EF=AC=35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．
20．（2022九上·榆树期末）如图，边长为2的正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B，C两点．
（1）求b，c的值；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵正方形的边长为2，
∴点B、C的坐标分别为，，
∵二次函数的图象经过B，C两点，
∴，
解得；
（2）解：由（1）可知抛物线为，
∵，
∴顶点为，
∵正方形边长为2，
∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形内（不包括边上），m的取值范围是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再将点B、C的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，再结合图形求出m的取值范围即可。
21．（2020九上·德惠期末）按要求作图（必须用直尺连线）：
（1）在图①中以点C为位似中心，在网格中画出△DEC，使△DEC与△ABC位似，且△DEC与△ABC的位似比为2：1，
（2）在图②中找到一个格点C，使∠ACB是锐角，且tan∠ACB＝1，并画出△ACB．
【答案】（1）解：如图①所示，△DEC即为所求；
（2）解：如图②所示，C点和△ACB即为所求．
【知识点】作图﹣位似变换；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质及网格特点，分别作出A、B以点C为位似中心，△DEC与△ABC的位似比为2：1的对应点D、E，然后顺次连接即可；
（2）利用网格特点作出∠ACB=45°即可.
22．（2022九上·榆树期末）
（1）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
（2）【结论应用】
如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段的延长线交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：．
（3）若（1）中的，则的大小为 ．
【答案】（1）证明：∵P是的中点，M是 的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理， ，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵P是的中点，M是 的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴；
（3）29°
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：结论应用（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：29°．
【分析】（1）利用三角形中位线的性质可得，，可得，即可得到；
（2）先证明是的中位线，可得，再证出，结合 ，即可得到；
（3）先求出，再结合，求出，即可得到。
23．（2022九上·榆树期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）【问题解决】
若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
（3）【拓展延伸】
化简＝ ．
【答案】（1）；2mn
（2）解：，
∵，
∴ ，
又∵均为正整数，
∴ 或，
即或；
（3）
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】（1）解：，
∵，且均为整数，
，
故答案为：
（3）解：
＝
＝
＝，
故答案为：
【分析】（1）参考题干中的计算方法可得答案；
（2）先求出，可得，求出 或，最后可得答案；
（3）参照题干中的计算方法求解即可。
24．（2022九上·榆树期末）如图，在ABCD中，，，．点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）的值为 ．
（2）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）
（3）当时，求△PCQ的面积．
（4）连接 AC．当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）解：①如图（1）中，当时，
∵，∴，∴，∴．
②如图（2）中，当时，
∵，∴，∴，
∴．
综上，当时，；当时，．
（3）解：当时，，，
∴．
（4）解：①当点M在线段AC上时，如图，
，
在Rt△APQ中，，，
则，由矩形的性质可知，，，
又，∴，
∴，即，解得；
②当点N在线段AC上，如图，
由题意可知，，
由矩形的性质可知，，，又，∴，
∴，即，解得．
综上，或．
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：在Rt△ABD中，，，
∴，∴，
故答案为．
【分析】（1）利用正切的定义求解即可；
（2）分类讨论： ①如当时，②当时，再分别画出图象并求解即可；
（3）先求出PQ和QC的长，再求出△PCQ的面积即可；
（4）分类讨论： ①当点M在线段AC上时，②当点N在线段AC上，再分别画出图象并求解即可。
