阿拉善盟重点中学2022-2023学年高二上学期期末考试
数学（文科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进人预定轨道，发射任务取得圆满成功．该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破．“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．若与相外切，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
7．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在区间上随机地抽取一个实数，若满足的概率为，则实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
9．已知双曲线的离心率为且过点，直线与的右支有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
11．给出下列四个命题：①“若，则”的逆命题；②“，使得”的否定；③已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，“函数为偶函数”的充要条件是“”；④在中，“”是“”的充分不必要条件．其中为真命题的是（ ）
A．②④ B．①④ C．③④ D．②③
12．过椭圆的右焦点且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于A、B两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是______．
14．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的最小内角的余弦值为______．
15．运行如图所示的程序框图，则输出结果为______．
16．已知为坐标原点，抛物线的方程为，F为的焦点，，过点的直线与抛物线交于P、Q两点（异于点），且，分别交轴于M、N两点，则______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于不同的两点A，B，直线与轴的交点为，求．
18．（本小题满分12分）
已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直．
（1）求直线的方程；
（2）若圆过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
19．（本小题满分12分）
已知，p：“函数的定义域为”“，使得成立”．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）
某公司组织了丰富的团建活动，为了解员工对活动的满意程度，随机选取了100位员工进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照），），，…分成6组，制成如图所示的频率分布直方图（这100人的评分值都分布在之间）．
（1）求实数的值以及这100人的评分值的中位数；
（2）现从被调查的问卷满意度评分值在的员工中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．
21．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，，且的面积为，其中为坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于A，B两点，若直线，关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为，原点到直线的距离是．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆相切，切点在第二象限，过点作直线的垂线，交椭圆于，两点（点在第二象限），直线交轴于点，若，求直线的方程．
阿拉善盟重点中学2022-2023学年高二上学期期末考试
数学（文科）参考答案、提示及评分细则
1．B因为，所以，故准线方程为．故选B．
2．D由，解得或，所以或，所以．故选D．
3．C因为点到直线的距离是，所以圆的半径为，所以圆的方程为．故选C．
4．D设公转轨道的长半轴长为（万千米），半焦距为（万千米），由题意知，，所以，，所以离心率．故选D．
5．C 的标准方程是，圆心的坐标为，半径，的标准方程是，圆心的坐标为，半径，因为与相外切，所以，即，解得．故选C．
6．A因为“，”为真命题，所以，解得．故选A．
7．B若，则，即，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．
8．D在区间上随机地取一个数，若满足的概率为，所以．故选D．
9．A解法一：离心率为的双曲线是等轴双曲线，所以可设双曲线的方程是，将点，的坐标代入得，所以的方程是，将代入上式并消去整理得，则解得或．故选A．
解法二：离心率为的双曲线是等轴双曲线，所以可设双曲线的方程是，
将点的坐标代入得，所以的方程是，
直线恒过，通过画图可知当与的渐近线平行时，
与的右支只有一个交点，所以当或时，与的右支有两个不同的交点．故选A．
10．C方法一：根据三角函数的定义，得，又．故选C．
方法二：根据三角函数的定义，得，，所以，所以．故选C．
11．C对于①中，“若，则”的逆命题为“若，则，当，时，，所以①是假命题；
对于②中，“，使得”的否定是“，”，当时，，所以②是假命题；
对于③中，，由函数为偶函数可得，解得，所以③是真命题；
对于④中，若且，根据三角函数的性质，可得，即充分性成立，若，此时，所以必要性不成立，所以在中，“”是“”的充分不必要条件，即④是真命题．故选C．
12．D解法一：将代入椭圆的方程得，所以①，设，则，，两式相减得，又，，，所以②，解①②得，，所以，所以上的点到焦点的距离的最大值为．故选D．
解法二：将代入椭圆的方程得，所以①，直线的方程是，即，代入椭圆的方程并消去整理得，设，，则，即②，解①②得，，所以，所以上的点到焦点的距离的最大值为．故选D．
13． 若方程表示双曲线，则，解得．
14． 由题意知角最小，因为，设，，，所以．
15． ∵，第一次循环，判断条件不满足，，；第二次循环，判断条件不满足，，；
第三次循环，判断条件不满足，，；
第四次循环，判断条件不满足，，；
第五次循环，判断条件不满足，，；
第六次循环，判断条件不满足，，；
第七次循环，判断条件不满足，，，
判断条件满足，结束循环，输出的值为．
16．4 因为抛物线的方程为，所以其焦点为，
所以可设直线的方程为，，，
联立抛物线方程可得，
所以，，
则，
令，可得点的坐标为，同理可得点的坐标为，
所以．
17．解：（1）由直线的参数方程（为参数），
消去参数得直线的普通方程．
由得，
将代入得，即，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）直线与轴的交点坐标为，倾斜角为，
所以直线的参数方程可化为（为参数），
代入整理得．
设点A，B对应的参数分别为，．
则，，
所以．
18．（1）由已知，得解得两直线交点为
设直线的斜率为，因为直线与垂直，
所以，解得，
所以直线的方程为，即
（2）设圆的标准方程为，
则由题意，得，
解得或（舍去），
所以，所以圆的标准方程为．
19．解：（1）若为真命题，则在有解，
即，
令，所以在上单调递减，在上单调递增，
且，，所以，
所以，即实数的取值范围是．
（2）当为真命题时，在上恒成立，
当时，恒成立，满足要求；当时，
解得．
综上所述，实数的取值范围是．
因为“”为真命题，“”为假命题，所以p，q一真一假，
当真假时，解得；
当真假时，，解得
所以实数的取值范围是．
20．解：（1）由，解得．
中位数设为，则，解得．
（2）易得满意度评分值在内有20人，抽得样本为2人，记为，，
满意度评分值在内有30人，抽得样本为3人，记为，，，
记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件，
基本事件有，，，，，，
，，，共10个，
包含的基本事件个数为4个，所以．
21．（1）解：抛物线的焦点为，
因为，所以点的横坐标为，
代入抛物线方程，得，
又的面积为，所以，又，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，
由得，，即，
所以，．
因为直线，关于轴对称，所以，
即，化简，
得，
所以，所以，
所以直线的方程为，恒过定点．
22．解：（1）因为点且直线的倾斜角为，
所以直线的方程为，所以，即
又原点到直线的距离是，
所以，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
则直线的方程为．
联立消去，化简得．
因为直线与椭圆相切，所以，即，
化简，得，且切点为．
联立消去，得，解得，
所以，．
因为为的中点，所以与的面积相等，
又，所以，
所以，即．
所以，即．
又，所以，解得．
因为，，所以，，故直线的方程为．
