2023年中考九年级数学高频考点 专题训练---二次函数实际销售问题
一、综合题
1．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；求x为何值时y的值为1920；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少．
2．某个体地摊经销一批小商品，每件商品的成本为8元.据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，设销售单价为每件x元，销售量为y件.
（1）写出y与x函数关系式.
（2）若想每天的销售利润恰为640元，同时又要使顾客得到实惠，这种小商品每件售价应定为多少元？
（3）这种小商品每件售价应定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
3．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料，开发了一种有机产品.A原料的单价是B原料单价的1.5倍.若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg，生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其它成本9元.市场调查发现：该产品售价为每盒40元时，每天可卖出150盒.如果每盒的售价每涨1元（售价每盒不能高于45元），那么每天少卖10盒.设每盒涨价x元（x为非负整数），每天销售y盒.
（1）求该产品每盒的成本（成本＝原料费+其它成本）；
（2）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）如何定价才能使每天的利润最大且每天销量较大？每天的最大利润是多少？
4．某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润y1（万元）与投入资金n（万元的平方成正比例；乙种产品所获得年利润y2（万元）与投入资金n（万元）成正比例，并得到表格中的数据.设公司计划共投入资金m（万元）（m为常数且m＞0）生产甲乙两种产品，其中投入甲种产品资金为x（万元）（其中0≤x≤m），所获全年总利润W（万元）为y1与y2之和.
n（万元） y1（万元） y2（万元）
2 0.1 1
（1）求y1与y2的表达式；
（2）求W关于x的函数关系式（用含m的式子表示）；
（3）当m＝50时，公司从全年总利润W中扣除投入甲种产品资金的k倍（0＜k≤3）用于其它产品的生产后，得到剩余利润W剩余（万元），若W剩余随x增大而减小，直接写出k的取值范围.
5．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．
（1）设李明每月获得利润为w（元），求出w与x的函数关系式．
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？得最大利润是多少？
6．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
7．在汛期到来之际，某水泵厂接到生产一批小型抽水泵的紧急任务。要求必须在10天内（含10天）完成任务。为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了水泵20台，以后每天生产的水泵都比前一天多2 台。由于机器损耗等原因，当日生产的水泵数量达到28台后，每多生产一台，当天生产的所有水泵，平均每台成本就增加20元。
（1）设第 天生产水泵 台，直接写出 与 之间的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（2）若每台水泵的成本价（日生产量不超过28台时）为1000元，销售价格为每台1400元，设第 天的利润为 元，试求 与 之间的函数解析式，并求该厂哪一天获得的利润最大，最大利润最多少？
8．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
9．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y=-x+60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少元
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元
10．“互联网 ”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出400元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？直接写出销售单价．
11．某种进价为每件40元的商品，通过调查发现，当销售单价在40元至65元之间( )时，每月的销售量 (件)与销售单价 (元)之间满足如图所示的一次函数关系.
（1）求 与 的函数关系式；
（2）设每月获得的利润为 (元)，求 与 之间的函数关系式；
（3）若想每月获得1600元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（4）当销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
12．某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红。经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100），已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p=x+1.
（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w’（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
13．某商场销售一种产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定位3000元，该商场为了促销，规定客户一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；
（1）设一次购买这种产品x（x≥10）件，商场所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获的利润为12000元，此时该商场销售了多少件产品？
（3）填空：该商场的销售人员发现，当客户一次购买产品的件数在某一个区间时，会出现随着一次购买的数量的增多，商场所获的利润反而减少这一情况，客户一次购买产品的数量x满足的条件是 （其它销售条件不变）
14．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
15．为了实现乡村振兴，某村委会成立了特别工作小组帮助果农进行西瓜种植和销售，已知西瓜的成本为5元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，经市场调研发现，销售旺季，当销售单价为5元/千克时．每天的销售量为1000千克，每增加0.1元/千克，每天的销售量就减少20千克．设每天西瓜的销售量为y（千克），销售单价为x（元/千克）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
（2）求销售旺季一天销售西瓜所获得的利润w的最大值．
16．为迎接11.1—11.4义乌市森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数.下表提供了部分采购数据.
（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式；
（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的 ，且A产品采购单价不低于1200元.求该商家共有几种进货方案；
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完.在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：y=（30﹣20+x）（180﹣10x）=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
令y=1920得：1920=﹣10x2+80x+1800
x2﹣8x+12=0，
（x﹣2）（x﹣6）=0，
解得x=2或x=6，
∵0≤x≤5，
∴x=2
（2）解：由（1）知，y=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x= =4时，y最大=1960元；
∴每件商品的售价为34元
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元
2．【答案】（1）解： ，
∴关系式为：y=400 20x；
（2）解：根据题意得：(x﹣8)[200﹣20(x﹣10)]=640，
整理得：x2﹣28x+192=0，
解得：x1=12，x2=16.
∵要使顾客得到实惠，
∴x2=16不合题意.
答：销售单价应定为12元/件.
（3）解：设利润为w，则
，
∴ ，
∵ ，
则w随x的增大而减小，
∴当 时，w取最大值，
∴ ，
∴这种小商品每件售价应定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润是720元.
3．【答案】（1）解：设 原料单价为 元，则 原料单价为 元，
根据题意，得 ，
解得： ，
∴ ，
∴每盒产品的成本为： (元)，
答：每盒产品的成本为30元；
（2）∵每盒的售价每涨1元，那么每天少卖10盒.
∴y与x的函数关系式为： ，
又∵售价每盒不能高于45元，x为非负整数，
∴自变量x的取值范围为： （x为非负整数）；
（3）设每天的利润为w元，
则有：
，
∴w是关于x的一元二次方程，x为非负整数
∴当 时， 取得最大值为 ，
∴每盒定价为：42或43(元)，
答：定价为42.或43元时才能使每天的利润最大且每天销量较大，每天的最大利润是1560元.
4．【答案】（1）解：设y1＝k1n2，y2＝k2n，
将（2，0.1）、（2，1）分别代入上述两式得 ，
解得： ，
故y1和y2关于n的函数关系式分别为y1＝ n2，y2＝ n；
（2）解：设投入甲种产品资金为x万元，则投入乙产品的资金为（m﹣x）万元，
由题意得：W＝ x2+ （m﹣x）＝ x2﹣ x+ m，
∴W关于x的函数关系式为W＝ x2﹣ x+ m；
（3）解：k的取值范围为2≤k≤3.
5．【答案】（1）解：由题意，得：w=（x﹣20） y
=（x﹣20） （﹣10x+500））
=﹣10x2+700x﹣10000
（2）解：由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000=0
解这个方程得：x1=30，x2=40．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元
（3）解：x=﹣ =35．
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润
6．【答案】（1）解：根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50× ，化简得：y=﹣5x+2200；
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则 ，
解得：300≤x≤350．
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）
（2）解：W=（x﹣200）（﹣5x+2200），
整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．
∵x=320在300≤x≤350内，
∴当x=320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元
7．【答案】（1）由题意可得出 与 之间的函数解析式为：
；
（2）由题意得：当 时， ，解得 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， ；
当 时，
即
∵此时函数图象开口向下，在对称轴右侧， 随着 的增大而减小，又天数 为整数，
∴当 时， 元，
∵ ，
∴当 时， 最大，且 。
综上所述： 、当 时， 最大，且
8．【答案】（1）解：y=
（2）解：在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；
在10＜x≤30时，y=﹣3x2+130x，
当x=21 时，y取得最大值，
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408．
∵1408＞1000，
∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多
9．【答案】（1）解：由题意得：
W=（x-30）y=（x-30）(-x+60)=-x2+90x-1800，(30≤x≤60)
∴w与x之间的函数关系式为：W=-x2+90x-1800；
（2）解：∵W=-x2+90x-1800=-（x-45）2+225，
又∵a=-1＜0
∴当x=45时，W最大=225元；
答：这种双肩包销售单价定45元时，每天的销售利润最大，最大利润为225元。
（3）解：将W=200代入W=-x2+90x-1800
得，200=-x2+90x-1800，
解得：x1=40，x2=50，
∵物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元即x≤42，
∴x2=50，应该舍去
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元。
10．【答案】（1）解：由题意可得： ，
∴关系式为：
（2）解：由题意，得：
抛物线开口向下，
有最大值，
即当 时， ，
∴应降价 （元），
∴当降价10元时，每月获得最大利润为4500元
（3）解：由题意，得：
解之，得： ， ，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时，符合该网店要求，
而为了让顾客得到最大实惠，则 ，
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
11．【答案】（1）解：设： 图象过 ， ，
∴ ，解得 ，
∴
（2）解：依题意得
（3）解：当 时， ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
答：销售单价应定为50元
（4）解：
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值，最大值为2500元
答：当销售单价定为65元时，每月的销售利润最大，最大利润2500元.
12．【答案】（1） 当0≤x≤30时，y＝2.4；
当30≤x≤70时，y＝ 0.01x＋2.7；
当70≤x≤100时，y＝2
（2） 当0≤x≤30时，w＝2.4x （x＋1）＝1.4x 1；
当30≤x≤70时，w＝（ 0.01x＋2.7）x （x＋1）＝ 0.01x2＋1.7x 1；
当70≤x≤100时，w＝2x （x＋1）＝x 1；
（3）解： 当0≤x＜30时，w′＝1.4x 1 0.3x＝1.1x 1，
当x＝30时，w′的最大值为32，不合题意；
当30≤x≤70时，w′＝ 0.01x2＋1.7x 1 0.3x＝ 0.01x2＋1.4x 1＝ 0.01（x 70）2＋48，
当x＝70时，w′的最大值为48，不合题意；
当70≤x≤100时，w′＝x 1 0.3x＝0.7x 1，当x＝100时，w′的最大值为69，此时0.7x 1≥55，解得x≥80，
所以产量至少要达到80吨．
13．【答案】（1）解：当一次购买这种产品x（x≥10）件时，销售单价为3000﹣10（x﹣10），由题意可知，3000﹣10（x﹣10）≥2600，解得：x≤50，∴当10≤x≤50时，y=[3000﹣10（x﹣10）﹣2400]x，即y=﹣10x2+700x，
当x＞50时，y=200x，
综上所述：
（2）解：当0≤x＜10时，由600x=12000可得x=20＞10，舍去,
当10≤x≤50时，﹣10x2+700x=12000，解得：x=30或x=40，当x＞50时，200x=12000，解得：x=60，∵客户购买产品的件数应尽可能少，∴x=30，答：商场销售了30件产品时，商场所获的利润为12000元.
（3）35＜x≤50
14．【答案】（1）解：根据题意得：
y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200
（2）解：令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，
即x2+4x﹣12=0，
解得：x=﹣6（舍去），或x=2．
答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元
15．【答案】（1）解：由题意得：，
∵销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍，
∴5≤x≤10，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣200x+2000（5≤x≤10）；
（2）解：由题意得：w＝（x﹣5） y
＝（x﹣5）（﹣200x+2000）
＝﹣200x2+3000x﹣10000
＝﹣200（x﹣7.5）2+1250，
∵﹣200＜0，
∴当x＝7.5时，w有最大值，最大值为1250，
∴销售旺季一天销售西瓜所获得的利润w的最大值为1250元．
16．【答案】（1）解：设y1与x的关系式y1=kx+b，
由表知
解得k=-20，b=1500，
即
（2）解：根据题意可得
解得
∵x为整数，
∴x可取的值为：11，12，13，14，15，
∴该商家共有5种进货方案
（3）解：解法一：y2=-10（20-x）+1300=10x+1100，
令总利润为W，
则W=（1760-y1）x+（20-x）×[1700-（10x+1100）]=30x2-540x+12000，
=30（x-9）2+9570，
∵a=30>0，
∴当x≥9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大=10650；
解法二：根据题意可得B产品的采购单价可表示为：
y2=-10（20-x）+1300=10x+1100，
则A、B两种产品的每件利润可分别表示为：
1760-y1=20x+260，
1700-y2=-10x+600，
则当20x+260>-10x+600时，A产品的利润高于B产品的利润，
即 时，A产品越多，总利润越高，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，总利润最高，
此时的总利润为（20×15+260）×15+（-10×15+600）×5=10650.
答：采购A种产品15件时总利润最大，最大利润为10650元。
